文 献 综 述
- 非线性期望下大数定律的研究背景及意义
大数定律是概率论中重要的极限理论,在整个概率论的发展过程中,大数定律起到了非常关键的作用.大数定律的存在使概率论形成了较为完善的理论体系,并且有广泛的应用背景.
传统概率论中的大数定律是建立在线性期望和可加概率的基础之上的.但是,在统计、金融、经济等领域存在很多不确定现象,这些不确定现象并不满足线性可加条件,因此经典概率论下的极限理论就无法合理地对其进行解释和预测.为了对这些不确定现象进行更好地建模,人们更多地去考虑非线性期望或非可加概率。
非线性概率一般指容度(capacity),即不满足可加性的单调集函数.1953年,为了研究势能理论及统计力学中的问题,Gustave Choquet提出了关于容度的Choquet积分,并创立了Choquet理论,这是非线性概率理论的第一个奠基性成果.同在1953年,Lloyd Shapley在研究博弈问题时也对容度的性质进行了探讨.作为合作博弈论及经济学领域的重要成果之一,Shapley指出凸博弈具有非空的核,而一个凸博弈实际上可以抽象为一个supermodular容度.随着决策理论,现代经济学及金融学的发展,人们发现很多不确定性现象无法用经典概率模型进行刻画,这就促使数学家们在非线性概率领域不断进行研究和探讨,并取得了很多进展
因此，非线性期望下的大数定律有着广泛的应用场景，应用潜力，选择深入研究将会为以后的学习研究带来一种新的思想和有力的工具。
- 次线性期望的研究现状
Peng(2007)首次提出了次线性期望的定义:得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理,进而形成了次线性期望理论框架。不同于以往由测度构造积分的思想,Peng所提出的次线性期望的定义并不依赖于具体测度或容度,因为非线性期望不一定能由相应的非线性概率唯一确定,所以Peng的工作无疑是为非线性概率理论开辟了一条新的研究途径.基于Peng的工作,Chen,Epstein还发现了g-期望与资产定价理论之间的联系,由此解释了资产定价中的不确定性问题及Allais悖论,在经济学界及数学界产生了深远的影响。随后,有很多的研究者在此理论框架下对大数定律进行了一定的研究和推广.如Chen et al.(2013)证明了容度下独立同分布随机变量序列的强大数定律;Hu et al.(2016)证明了容度下独立不同分布随机变量序列的强大数定律;Zhang(2016)证明了容度下负相依同分布随机变量序列的强大数定律等。
现在,非线性概率及期望理论不仅在经济,统计甚至量子力学等领域得到广泛应用,更是作为描述金融衍生品风险行为的有力数学工具而获得了大量关注。
- 次线性期望下的大数定律的背景及研究现状
随着非线性概率应用的发展,对非线性概率理论体系的完备化也显得愈发重要。在经典概率论中,极限理论部分占据着核心地位,而大数定律和中心极限定理可以说是其中最具代表性的结果。大数定律作为描述大量重复试验中实验结果稳定性的规律,最初作为一种自然规律被人们所发现和接受。在历史上第一次用数学语言将其抽象化并作为极限定理给出严格证明的是Jacob Bernoulli,他所得到的大数定理也被称为Bernoulli大数定律(准确来讲应称为大数定理,但人们仍习惯称之为大数定律).Bernoulli之后还有很多数学家为大数定律理论的发展与完善做出了卓越贡献,如Chebyshev,Markov,Borel,Cantelli,Kolmogorov及Khinchin等。在非线性情形,很多极限定理的形式及证明方法都与经典情形不同。
例如：在经典概率论中,一个同分布且期望有限的随机变量序列{Xn}nge;1被称为服从弱大数定律,如果
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